Wann geht der Mond auf

Um was geht es...

Unser Trabant, der Mond, kommt und geht, wann es ihm passt. Er steht mal hoch am Himmel, mal kriecht er nur so über den Horizont. Hinter dieser Bewegung steckt eine (halbwegs geordnete) Systematik, aus der man z.B. die Auf- und Untergangszeiten oder aber auch die Sonnen- oder Mondfinsternisse bestimmen, also vorhersagen kann.

Für die Bestimmung der Auf- und Untergangszeiten als auch der Fintserniszeitpunkte benötigt man als aller erstes mal die genaue Position des Mondes am Himmel, also die Berechnung der Mondbahn.

Diese Position ist aber nicht so leicht zu berechnen. Die Mondbahn ist nicht einfach eine Ellipse, welche nach den Keppler-Gesetzen berechnet werden kann. Gegenseitige Einflüsse durch Mond und Erde lassen von dieser idealisierten Berechnung abweichen. Weiterhin kommt ein Einfluss (aufgrund der großen Masse) auch von der Sonne dazu. Darüber hinaus gibt es weitere Einflüsse.

Der Mond selbst liegt auch nicht exakt auf der Ekliptik, sondern pendelt um ca. 5° geneigt zu dieser Ebene. Die Schnittpunkte der Ekliptik zur Mondebene nennt man Knoten. Die Mondebene selbst ist auch nicht fest, so dass die Knoten sich rückläufig zur Ekliptik bewegen. Deshalb kommt es auch nicht bei jeder Umrundung zu einer Sonnen- oder Mondfinsternis. Für eine Finsternis muss der Knoten auf der Linie Erde-Sonne stehen (nur dann sind Sonne, Erde und Mond in einer Linie), damit entweder der Mond die Sonne verfinstert oder der Erdschatten auf den Mond fällt. Ist der Knoten weiter rechts oder links von dieser Achse, dann steht der Mond zu hoch oder zu tief, um eine Finsternis zu verursachen.

All diese verschiedenen Einflüsse müssen berücksichtigt werden, um eine einigermaßen genaue Positionsberechnung durchzuführen. Ohne die Berücksichtigung dieser Einflüsse wird die Position leider ziemlich schnell falsch und total aus dem Ruder laufen.

Der Algorithmus

Die Berechnungen selbst sind nur gute Näherungen und keine hoch exakte Werte. Die gröbsten Einflüsse werden dabei berücksichtigt. Noch kleinere, feinere Einflüsse für eine noch genauere Positionsberechnung werden einfach mal außer Acht gelassen (aus den Quellen wird eine Genauigkeit von einigen hundertstel Grad angegeben?).

Die mittleren Bahnelemente

Die wichtigsten, mittleren Positionsangaben werden über Polynome in der Form

y(t) = Σ [ C_n * tⁿ ]

also etwa

y(t) = C₀ + C₁*t + C₂*t² + C₃*t³

beschrieben. Zu diesen Bahndaten gehören der mittlere Längengrad des Mondes L_{m (Mond)}, die mittlere Anomalie dieser Bahn A_{m (Mond)}, der mittlere Längengrad des aufsteigenden Knotens, also der Schnittpunkt der Mondebene mit der Ekliptik, aufsteigende Richtung k_(Mond) und die Exzentrität der Erdbahn e_(Erde). Weiterhin kommen noch einige so beschriebene Störungen S_n hinzu. Für die Sonne selbst erfolgt auch über solche Polynome die Beschreibung der mittleren Länge L_{m (Sonne)} sowie der mittleren Anomalie A_{m (Sonne)}.

Die für diese Polynome benutzte Zeit t errechnet sich aus dem julianischen Datum:

t = (JD - 2415020) / 36525

Dies entspricht also den Jahrhunterten (1 julianisches Jahrhundert = 36525 Tage) seit dem 1.1.1900 12:00

Aus diesen Werten errechet sich die mittlere Elongation (also Winkelabstand von der Erde aus gesehen) zwischen Mond und Sonne D_{m (M/S)} aus mittlerer Länge des Mondes minus mittlerer Länge der Sonne:

D_{m (M/S)} = L_{m (Mond)} - L_{m (Sonne)}

Der mittlere Abstand des Mondknotens F_{m (Mond)} berechnet sich aus mittlerer Länge des Mondes minus mittlerer Länge des aufsteigenden Knotens:

F_{m (Mond)} = L_{m (Mond)} - k_(Mond)

Die Länge des Mondes L_(Mond) errechnet sich dann aus der Formel:

L_(Mond) = L_{m (Mond)} + 0.004*sin(S2) + 0.002*sin(k_(Mond))

Die Störungen

Zur Berechnung der Störungen der Länge und der Breite ist ein Zwischenschritt notwendig, mit dessen Ergebnisse die Störungen dann endgültig berechnet werden. Die Störungen selbst werden mathematisch in der Form

S_x = Σ C_n * sin(u_n*D_(Mond) + v_n*F_(Mond) + w_n*M_(Sonne) + x_n*M_(Mond))

beschrieben, sind also periodische Einflüsse (wegen sinus) auf die Bahndaten. Die Konstanten C_n, u_n, v_n,w_n und x_n sind in der Tabelle enthalten. Die Zwischenwerte D_(Mond), F_(Mond), A_(Sonne) und A_(Mond) werden im folgenden beschrieben.

Die Elongation von Mond und Sonne D_(M/S) errechnet sich aus:

D_(M/S) = D_{m (M/S)} + 0.002*sin(S1) + 0.004*sin(S2) + 0.002*sin(k_(Mond))

Der Abstand des Mondknotens F_(Mond) errechnet sich aus:

F_(Mond) = F_{m (Mond)} + 0.004*sin(S2) - 0.025*sin(k_(Mond) - 0.004*sin(S3 + k_(Mond))

Die Anomalie der Sonne A_(Sonne) und die Anomalie des Mondes A_(Mond) bestimmt man über:

A_(Mond) = A_{m (Mond)} + 0.001*sin(S1) + 0.004*sin(S2) + 0.003*sin(k_(Mond))

A_(Sonne) = A_{m (Sonne)} - 0.002*sin(S1)

Somit berechnet man nun die Störung der Länge S_Länge und die Störung der Breite S_Breite.

Die Länge und Breite der Mondposition

Zur endgültigen Bestimmung fehlt noch die Mittelpunktsgleichung

f = 6.29*sin(A_(Mond)) + 0.21*sin(2*A_(Mond)) + 0.01*sin(3*A_(Mond))

womit man dann die Länge und Breite in ekliptikalen Koordinaten einfach angeben kann:

l_Ekliptik = L_(Mond) + f + S_Länge

b_Ekliptik = S_Breite